Матричные вычисления в Mathcad
Глава 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения динамические системыОбыкновенные дифференциальные уравнения динамические системы
О постановке задач
Задачи Коши для ОДУ
Листинг 9 1 демонстрирует решение
Листинг 9 1 Решение задачи Коши
Решение уравнения w2у"+?у'+у=0 (продолжение листинга 9 1)
Фазовый портрет динамической системы
Решение уравнения w2у' '+?у'+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9 1)
Решение уравнения со2у' '+у=0 для различных начальных условий (коллаж графиков)
Дифференциальное уравнение Nго порядка
Решение уравнения w2у''+?у '+у+?у2=0 (продолжение листинга 9 2)
Листинг 9 2 решение задачи Коши для ОДУ второго порядка (модель нелинейного осциллятора)
Система N дифференциальных уравнений
Встроенные функции для решения систем ОДУ
Листинг 9 3 Решение системы двух ОДУ(модель осциллятора)
Результат выдаваемый встроенной функцией в качестве решения системы ОДУ (продолжение листинга 9 3}
График решения системы ОДУ осциллятора (продолжение листинга 9 3)
Решение одного уравнения (N=1)
Решение уравнения у'=1у2 (продолжение листинга 9 4)
Листинг 9 4 Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка
Решение систем ОДУ в одной заданной точке
Листинг 9 5 Поиск аттрактора системы двух ОДУ модели осциллятора
О численных методах
Решение системы ОДУ в зависимости от числа узлов М (продолжение листинга 9 6)
Фазовый портрет решения системы ОДУ при М=40 и М=200 (продолжение листинга 9 6)
Листинг 9 6 Решение системы ОДУ как функции числа шагов
Фазовый портрет полученный bulstoer (a) и rkadapt (б) (продолжение листинга 9 5)
Листинг 9 7 Число шагов адаптивного численного алгоритма в зависимости от погрешности acc
Зависимость числа шагов от параметра асе численных методов (продолжение листинга 9 7)
Жесткие системы ОДУ
Что такое жесткие ОДУ?
Листинг 9 8 Решение нежесткого ОДУ
Решение нежесткого ОДУ методом Рунге—Кутты (продолжение листинга 9 8)
Неверное решение более жесткого ОДУ методом Рунге—Кутты (листин 9 8 с коэффициентом 50)
Функции для решения жестких ОДУ
Листинг 9 9 Решение жесткого ОДУ алгоритмом RADAUS
Решение жесткого ОДУ методом RADAUS (продолжение листингов 9 8 и 9 9)
Пример химическая кинетика
Листинг 9 10 Жесткая система ОДУ химической кинетики
Листинг 9 11 Якобиан рассматриваемой системы ОДУ химической кинетики
Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Рунге—Кутты (продолжение листинга 9 10)
Листинг 9 12 Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики
Решение более жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Розенброка
Примеры классические динамические системы
Модели динамики биологических популяций
Листинг 9 13 Модель "хищникжертва"
График решения (слева) и фазовый
График решения (слева) и фазовый портрет (справа) модели конкуренции популяций
Автоколебания
Листинг 9 14 Модель Ван дер Поля
График решения (слева) и фазовый портрет (справа) уравнения Ван дер Поля (продолжение листинга 9 14)
Решение уравнения Ван дер Поля при других начальных условиях у=2 у' =3
Странный аттрактор
Листинг 9 15 Модель Лоренца
Решение в виде аттрактора Лоренца (продолжение листинга 9 15)
Аттрактор Лоренца на фазовой плоскости (продолжение листинга 9 15)
Решение системы Лоренца с измененным параметром г=10
Брюсселятор
Листинг 9 16 Построение фазового портрета для модели брюсселятора
Фазовый портрет брюсселятора при В=0 5 (продолжение листинга 9 16)
Фазовый портрет брюсселятора при В=2 5
Глава 10 Обыкновенные дифференциальные уравнения краевые задачи
Обыкновенные дифференциальные уравнения краевые задачи
О постановке задач
Модель краевой задачи
Решение краевых задач средствами Mathcad
Алгоритм стрельбы
Листинг 10 1 Решение пробной задачи Коши для модели (10 1)
Иллюстрация метода стрельбы (продолжение листинга 10 1)
Двухточечные краевые задачи
Листинг 10 2 Решение краевой задачи
Решение краевой задачи для R=l (продолжение листинга 10 2)
Решение краевой задачи для R=0 (продолжение листинга 10 2 при R=0)
Краевые задачи с условием во внутренней точке
Листинг 10 3 Краевая задача с граничным условием в промежуточной точке
Листинг 10 4 Решение краевой задачи (продолжение листинга 10 3)
Решение краевой задачи с разрывом в xf=0 5 (продолжение листингов 10 3—10 4)
Задачи на собственные значения для ОДУ
Листинг 10 5 Решение задачи о собственных колебаниях струны
Первые три собственные функции
Разностные схемы для ОДУ
Разностном методе
Сетка покрывающая расчетный интервал
Листинг 10 6 Реализация явной разностной схемы
Решение краевой задачи разностным методом (продолжение листинга 10 6)
Жесткие краевые задачи
Неверное решение жесткой краевой задачи по неустойчивой явной разностной схеме
Листинг 10 7 Реализация неявной разностной схемы для жесткой краевой задачи
Решение краевой задачи по неявной разностной схеме (продолжение листинга 10 7)
Нелинейные краевые задачи
О постановке задачи
Метод стрельбы
Листинг 10 8 Решение нелинейной краевой задачи методом стрельбы
Решение нелинейной краевой задачи (продолжение листинга 10 8)
Разностные схемы
Листинг 10 9 Решение линейной (приближенной) краевой задачи
Листинг 10 10 Решение линеаризованной задачи (продолжение листинга 10 9)
Решение нелинейной краевой задачи разностным методом (продолжение листингов 10 9 и 10 10)
Матричные вычисления в Mathcad
Глава 11 Дифференциальные уравнения в частных производныхДифференциальные уравнения в частных производных
О постановке задач
Классификация уравнений в частных производных
Пример уравнение диффузии тепла
Физическая модель описываемая двумерным уравнением теплопроводности
Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности (см листинг 11 7 ниже)
Физическая модель одномерного уравнения теплопроводности
Решение одномерного уравнения теплопроводности (см листинг 11 1 ниже)
Численное решение обратного уравнения
Разностные схемы
Явная схема Эйлера
Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности
Листинг 11 1 Явная схема для линейного уравнения теплопроводности
Решение линейного уравнения теплопроводности (продолжение листинга 11 1)
Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником (тепловой фронт)
Решение уравнения теплопроводности
Численное решение уравнения теплопроводности
Неявная схема Эйлера
Шаблон неявной схемы для уравнения теплопроводности
Решение линейного уравнения теплопроводности
Листинг 11 2 Неявная схема для линейного уравнения теплопроводности
Матрица системы линейных разностных уравнений для неявной схемы (листинг 11 2 для M=10)
Листинг 11 3 Алгоритм прогонки (продолжение листинга 11 2)
О возможности решения многомерных уравнений
Встроенные функции для решения уравнений в частных производных
Параболические и гиперболические уравнения
Листинг 11 4 Решение одномерного уравнения теплопроводности
Решение уравнения диффузии тепла при помощи встроенной функции pdesoдve (листинг 11 4)
Листинг 11 5 Решение волнового уравнения
Решение волнового уравнения (продолжение листинга 11 5)
Листинг 11 6 Решение волнового уравнения при помощи функции numol
Решение волнового уравнения (продолжение листинга 11 6)
Эллиптические уравнения
Листинг 11 7 содержит пример использования
Листинг 11 7 Решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями
График поверхности решения уравнения Пуассона (продолжение листинга 11 7)
График линий уровня решения уравнения Пуассона (продолжение листинга 11 7)
Листинг 11 8 Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax
Решение уравнения Пуассона с помощью функции relax (продолжение листинга 11 8)
Шаблон аппроксимации уравнения Пуассона "крест"
Листинг 11 9 Решение уравнения теплопроводности при помощи функции relax
Решение уравнения теплопроводности с помощью функции relax (продолжение листинга 11 9)
Матричные вычисления в Mathcad
Глава 12 СтатистикаСтатистика
Статистические распределения
Статистические функции
Плотность вероятности некоторых распределений
Диалоговое окно Insert Function
Пример нормальное (Гауссово) распределение
Плотность вероятности нормальных распределений
Нормальные функции распределения
Листинг 12 1 Вероятность того что х будет меньше 1 881
Листинг 12 2 97% квантиль нормального распределения
Листинг 12 3 Вероятность того что х будет больше 2
Листинг 12 4 Вероятность того что х будет находиться в интервале (2 3)
Листинг 12 5 Вероятность того что |x|2
Листинг 12 6 Вероятность того что х будет в интервале (2 3)
Листинг 12 7 Генерация двух векторов с нормальным законом распределения
Псевдослучайные числа с нормальным законом распределения (продолжение листинга 12 7)
Выборочные статистические характеристики
Гистограммы
Листинг 12 8 Построение гистограммы
Построение гистограммы (продолжение листинга 12 8)
Листинг 12 9 Упрощенный вариант построения гистограммы
График и матрица гистограммы (продолжение листинга 12 9)
Среднее и дисперсия
Листинг 12 10 Расчет числовых характеристик случайного вектора
Листинг 12 11 К определению статических характеристик
Листинг 12 12 Вычисление различных средних значений
Примеры Выборочная оценка дисперсии и среднего нормальной случайной величины
Листинг 12 13 Интервальное оценивание дисперсии
Листинг 12 14 Проверка гипотезы о математическом ожидании при неизвестной дисперсии
К задаче проверки статистических гипотез (продолжение листинга 12 14)
Листинг 12 15 Другой вариант проверки гипотезы (продолжение листинга 12 14)
Корреляция
Листинг 12 16 Расчет ковариации и корреляции
Новые функции корреляционного анализа сигналов
Коэффициенты асимметрии и эксцесса
Листинг 12 17 Расчет выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса
Статистические функции матричного аргумента
Листинг 12 18 Вычисление среднего значения элементов матрицы
Листинг 12 19 Действие различных статистических функций на матрицу
Листинг 12 20 Статистические функции нескольких аргументов
Методы МонтеКарло
Генерация псевдослучайных чисел
Модель сигнал/шум с равномерным законом распределения
Демонстрирует широко распространенный
Генерация коррелированных выборок
Псевдослучайные числа с корреляцией R=0 4 (продолжение листинга"12 21) и R=0 9
Листинг 12 21 Генерация попарно коррелированных случайных чисел
Моделирование случайного процесса
Листинг 12 22 Генерация псевдослучайного процесса
Псевдослучайный процесс (продолжение листинга 12 22)
Листинг 12 23 Дискретизация случайного
Корреляционная функция (продолжение листингов 12 22—12 23)
Пример огибающая и фаза нормального случайного процесса
Листинг 12 25 содержит суммирование
Листинг 12 14 Квадратурные составляющие нормального случайного процесса
Квадратурные составляющие случайного процесса (продолжение листинга 12 24)
Листинг 12 25 Огибающая и фаза нормального случайного процесса (продолжение листинга 12 24)
Огибающая и фаза нормального случайного процесса (продолжение листингов 12 24—25)
Глава 13 Интерполяция и регрессия
Интерполяция и регрессия
Разные задачи аппроксимации данных
Интерполяция
Линейная интерполяция
Линейная интерполяция (продолжение листинга 13 1)
Листинг 13 1 Линейная интерполяция
Обычное построение графика функции от векторной переменной х (продолжение листинга 13 1)
Кубическая сплайнинтерполяция
Листинг 13 2 Кубическая сплайнинтерполяция
Сплайнинтерполяция (продолжение листинга 13 2)
Сплайнинтерполяция с выбором коэффициентов линейного сплайна lspline
Ошибочное построение графика сплайнинтерполяции (продолжение листинга 13 2)
Полиномиальная сплайнинтерполяция
Листинг 13 3 Интерполяция Всплайнами
Всплайнинтерполяция (продолжение листинга 13 3)
Сплайнэкстраполяция
Линейная сплайнэкстраполяция
Квадратичная сплайнэкстраполяция (продолжение листинга 13 2)
Экстраполяция функцией предсказания
Листинг 13 4 Экстраполяция при помощи функции предсказания
Экстраполяция при помощи функции предсказания (продолжение листинга 13 4)
Работа функции предсказания в случае малого количества данных (продолжение листинга 13 5)
Листинг 13 5 Экстраполяция при помощи функции предсказания
Многомерная интерполяция
Листинг 13 6 Двумерная интерполяция
Исходное двумерное поле данных (продолжение листинга 13 6)
Результат двумерной интерполяции (продолжение листинга 13 6)
Регрессия
Линейная регрессия
Листинг 13 7 Линейная регрессия
Листинг 13 8 Другая форма записи линейной регрессии
Линейная регрессия (продолжение
Листинг 13 9 Построение линейной регрессии двумя разными методами (продолжение листинга 13 7)
Линейная регрессия по методу наименьших
Полиномиальная регрессия
Регрессия полиномами разной степени (коллаж результатов листинга 13 10 для разных k)
Листинг 13 10 Полиномиальная регрессия
Листинг 13 11 Регрессия отрезками полиномов
Регрессия отрезками полиномов (продолжение листинга 13 11)
Двумерная полиномиальная регрессия (продолжение листинга 13 12)
Листинг 13 12 Двумерная полиномиальная регрессия
Другие типы регрессии
Экспоненциальная регрессия (продолжение листинга 13 13)
Листинг 13 13 Экспоненциальная регрессия
Регрессия общего вида
Листинг 13 14 Регрессия линейной комбинацией функций пользователя
Листинг 13 15 Регрессия общего вида
Ввод/вывод данных
Ввод/вывод в текстовые файлы
Листинг 13 16 Запись матрицы в текстовый файл
Листинг 13 17 Чтение данных из текстового файла в матрицу
Листинг 13 18 Дозапись вектора k в существующий текстовый файл
Файл созданный листингом 13 16
Файл созданный листингами 13 16 и 13 18
Ввод/вывод в файлы других типов
Листинг 13 19 Запись матрицы I в графический файл
Файл созданный листингом 13 19
Листинг 13 20 Чтение из графического файла
Листинг 13 21 Запись в цветной графический файл
Начало создания анимации
Просмотр созданного ролика анимации
Мастер импорта данных и функция READFILE
Стартовая страница окна Data Import Wizard
Следующая страница окна Data Import Wizard
Результат импорта данных из файла
Листинг 13 22 Импорт данных при помощи универсальной функции READFILE
Глава 14 Спектральный анализ
Спектральный анализ
Фурьеспектр
Фурьеспектр действительных данных
Исходные модельные данные (продолжение листинга 14 1)
Листинг 14 1 демонстрирует расчет
Листинг 14 1 Быстрое преобразование Фурье
Матрицарезультат вычисления Фурьеспектра данных (продолжение листинга 14 1)
График Фурьеспектра данных (продолжение листинга 14 1)
Низкочастотная область Фурьеспектра (продолжение листинга 14 1)
Обратное преобразование Фурье
Обратное преобразование Фурье (продолжение листинга 14 1)
Преобразование Фурье комплексных данных
Листинг 14 2 Комплексное быстрое преобразование Фурье (продолжение листинга 14 1)
Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 14 2)
Пример артефакты дискретного Фурьепреобразования
Иллюстрация влияния конечности выборки на расчет низкочастотной части Фурьеспектра
Фурьеспектр суммы гармонического сигнала и константы (влияние конечности выборки)
Расчеты Фурьеспектров гармонических сигналов с разной частотой ("маскировка частот")
Пример спектр модели сигнал/шум
Модель сигнал / шум
График Фурьеспектра данных
Листинг 14 3 Расчет спектра мощности для модели сигнал/шум
Автокорреляционная функция модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14 3)
График спектра мощности данных модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14 3)
Двумерный спектр Фурье
Листинг 14 4 Двумерное преобразование Фурье
Данные (слева) и их Фурьеспектр (справа) (продолжение листинга 14 4)
Вейвлетспектры
Сравнение синусоиды и вейвлетобразующей функции
Встроенная функция вейвлетпреобразования
Листинг 14 5 Поиск вейвлетспектра Добеши
Вейвлетспектр на основе функции Добеши (продолжение листинга 14 5)
Программирование вейвлетпреобразований
Листинг 14 6 Поиск вейвлетспектра на основе "мексиканской шляпы"
Вейвлетспектр на основе "мексиканской шляпы" (продолжение листинга 14 6)
Сглаживание и фильтрация
Встроенные функции для сглаживания ВЧфильтр
Адаптивное сглаживание (продолжение листинга 14 7)
Сглаживание "бегущими медианами"
Сглаживание при помощи функции ksmooth
Скользящее усреднение ВЧфильтр
Скользящее усреднение с разными w=3 5 15 (листинг 14 8 коллаж трех графиков)
Листинг 14 8 Сглаживание скользящим усреднением
Устранение тренда НЧфильтр
Листинг 14 9 Устранение тренда
Устранение тренда (продолжение листинга 14 9)
Полосовая фильтрация
Листинг 14 10 Полосовая фильтрация
Результат полосовой фильтрации (продолжение листинга 14 10)
Спектральная фильтрация
Листинг 14 11 отличается от листинга
Исходный модельный сигнал (кружки)
Листинг 14 11 Фильтрация на основе преобразования Фурье
Фурьепреобразование модельного сигнала и спектральное окнофильтр (продолжение листинга 14 11)
Пример вычисление спектра мощности
Листинг 14 12 Вычисление спектра мощности
Фурьепреобразование модельного сигнала и его спектр мощности (продолжение листинга 14 12)
Матричные вычисления в Mathcad
Краткое содержание
Новые возможности Mathcad 12
Новые возможности Mathcad 11
Новые возможности Mathcad 2001 и 2001i
Краткое содержание
Таблица П3 1 Арифметические операторы
Таблица П3 2 Вычислительные операторы
Таблица П 3 3 Встроенные функции
Таблица П3 4 Встроенные функции финансового анализа
Таблица П4 1 Сообщения об ошибках
Краткое содержание
Ресурсы Mathcad
Таблица П5 1 Tutorials (Учебники)
Таблица П5 2 OuickSheets (Быстрые шпаргалки)
