Решение уравнения теплопроводности
Рисунок 11.9. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии (режим локализации горения)
Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Существенно, что такие интересные результаты удается получить лишь численно, а в Mathcad только с применением элементов программирования.
Устойчивость
Как мы убедились, явная разностная схема Эйлера дает вполне разумные результаты и вполне может использоваться для практического моделирования задач, связанных с решением уравнений в частных производных. Однако теперь пришло время сказать об очень важной характеристике разностных схем, которая называется их устойчивостью. Не вдаваясь в детали, заметим, что производить расчеты можно только при помощи устойчивых разностных схем, а чтобы пояснить это понятие, обратимся вновь к листингу 11.1, реализующему явную схему для линейного уравнения диффузии.
Слегка изменим соотношение шагов по времени и пространственной координате, произведя расчеты сначала с t=0.0005 (эти результаты показаны на Рисунок 11.7 выше), а также с t=0.0010 и t=0.0015. Результат применения разностной схемы Эйлера для t=0.0010ю примерно тот же, что и для меньшего значения т, приведенного на Рисунок 11.7. А вот следующее (казалось бы, незначительное) увеличение шага по времени приводит к катастрофе (Рисунок 11.10).
