Неявная схема Эйлера
11.2.2. Неявная схема Эйлера
В отличие от явной схемы Эйлера, неявная является безусловно-устойчивой (т. е. не выдающей "разболтки" ни при каких значениях коэффициента Куранта). Однако ценой устойчивости является необходимость решения на каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений.
Построение неявной разностной схемы
Чтобы построить неявную разностную схему для уравнения диффузии, используем шаблон, изображенный на Рисунок 11.11, т. е. для дискретизации пространственной производной будем брать значения сеточной функции с верхнего (неизвестного) слоя по времени. Таким образом, разностное уравнение для (i,k)-ro узла будет отличаться от уравнения для явной схемы (11.8) только индексами по временной координате в правой части:
Если привести подобные слагаемые, то получится система уравнений, связывающая для каждого 1-го узла три неизвестных значения сеточной функции (в самом этом узле и в соседних с ним слева и справа узлах). Множители при неизвестных значениях сеточной функции в узах шаблона показаны на Рисунок 11.11 в виде подписей, подобно тому, как это было сделано для явной схемы (см. Рисунок 11.6).
