Решение задачи о трех пожарных ведрах (начало) (середина) (конец)
На рис. 2.8 помещен протокол решения «трехведерной» задачи. Поиск максимума начат опять же с формирования функции пользователя и с ее графического анализа. Поверхность функции двух переменных строилась так, как показано в пункте 3 на рис. 2.8. Создается сетка с 1681 узлом: 41 линия (0 до 40) по оси переменной a и столько же по оси переменной b. Эта сетка кладется на плоскость a-b, а затем ее узлы (от 0 до 360 градусов с шагом 9 градусов) поднимаются по оси функции V на «подобающую» каждому узлу высоту. Далее эта ажурная конструкция с помощью диалогового окна форматирования поворачивается[10]
вокруг осей V, a и b так, чтобы человек смог увидеть то, что ему нужно, – максимумы, минимумы и др. Всю эту работу машина берет на себя. От человека требуется только наметить узлы сетки (i := 0.. 40, j := 0.. 40), дать «угловое» значение ее узлам (ai := 9×i, bj
:= 9×j – углы меняются от 0 до 360 с шагом 9), заполнить матрицу M значениями «трехведерной» функции ¾ Mi,j:= V(ai, bj), перевести курсор на свободное место и отдать команду построения трехмерного графика, отображающего элементы матрицы М.
Основной недостаток трехмерной графики Mathcad заключается в том, что область изменения аргументов должна быть прямоугольной. Но в нашей «трехведерной» задаче она треугольная, так как аргументы связаны ограничением a+b£360. В пункте 2 рис. 2.8 функция V строится так, чтобы ее значения, выходящие за рамки треугольника, приравнивались к нулю (метод штрафных санкций[11]). Из-за этого задняя грань поверхности на рис. 2.8 получилась зубчатой. Тем не менее видны максимумы на сторонах треугольника области существования аргументов a и b и провисание в центре. В трех вертикальных сечениях просматривается «двухведерный» верхний график из рис. 2.3. Пакет Mathcad не смог решить двухмерную «трехведерную» оптимизационную задачу по методике, представленной на рис. 2.3 (взятие частных производных по переменным a и b и поиск корней полученной системы алгебраических уравнений). Пакет Mathcad пытался искать максимум «у края обрыва» и «сваливался» в него. Не справилась с этой задачей и специально введенная в Mathcad 8 функция Maximize при всех трех начальных приближениях (см. пункты *.1[12]): мы «танцевали» к максимуму от трех «печек» ¾ из центра треугольника (120 и 120 градусов ¾ см. пункт 4), из одного угла треугольника (0 и 0 градусов ¾ см. пункт 5) и от одной из сторон треугольника (150 и 210 градусов ¾ см. пункт 6). С поиском максимума справилась «старая добрая» функция MinErr[13] ¾ см. пункты *.2. Старая в буквальном смысле ¾ она ведет свою родословную еще с DOS-версий Mathcad и поэтому хорошо отлажена.
В пункте 7 сделан дополнительный графический анализ через линии уровня нашей «трехведерной» задачи, которая на поверку оказалась «двухведерной». Сразу виден еще один недостаток трехмерной графики Mathcad: область существования решений ¾ это равнобедренный, а не прямоугольный треугольник[14], как в пункте 7 на рис. 2.8. Оси a и b нужно размещать не под прямым углом, а под углом в 60 градусов, но Mathcad этого делать не может.
В пункте 8 сделана попытка реабилитации функции Maximize, потерпевшей полное фиаско в пункте 6. Если функция MinErr всегда должна работать в паре с ключевым словом Given, то функция Maximize ¾ может. За ключевым словом Given при необходимости пишутся ограничения, открывающие новые возможности в решении оптимизационных задач. Если из пользовательской функции убрать штрафные санкции (переопределить ее ¾ см. начало пункта 7), то функция Maximize справится с поставленной задачей (пункты 8 и 10), если… не застрянет в «седле» (пункт 9). Мы еще раз подтвердили, что третье ведро лишнее: максимумы лежат на краю обрывов – на линиях области существования «двухведерной» задачи. Максимумов шесть. К ним можно прийти, изменяя начальные приближения.
В книге мы еще не раз будем «греметь пожарными ведрами»: в этюде 6 (тестирование программы поиска оптимума функции многих переменных) и в этюде 7 (аналитическое решение задачи о ведре).
Возможность записи перед функциями Maximize и Minimize системы ограничений в виде неравенств и равенств позволяет решать в среде Mathcad новый класс оптимизационных задач. Вот две из них.
