может описывать случай
Листинг 8.7 может описывать случай, когда погрешность эксперимента полностью отсутствует, и система трех уравнений с двумя неизвестными оказывается совместной. А листинг 8.6 является примером куда более типичной ситуации, когда погрешность каждого измерения приводит к тому, что итоговая СЛАУ оказывается несовместной, т. е. не имеет никакого точного решения.
Примечание 2
Примечание 2
Простой пример с яблоками и грушами является типичным представителем класса обратных задач, подразумевающих, в частности, восстановление неизвестных входных данных эксперимента по наблюдаемым выходным характеристикам (получаемым в условиях наличия погрешности). Для таких задач развиты специальные методы решения, наиболее простой из которых мы приводим в этом и следующем разделах (не останавливаясь на его обосновании, которое потребовало бы привлечения дополнительных соображений из области математической статистики).
Псевдорешение (метод наименьших квадратов)
Напрашивающийся сам собой путь решения нашего простого примера с грушами и яблоками является хорошей иллюстрацией подхода к общей проблеме переопределенных СЛАУ. А именно, вместо точного решения системы уравнений следует организовать поиск такого вектора х, который будет наилучшим образом удовлетворять всем уравнениям, т. е. минимизировать их невязку (расхождение между вектором Aх и вектором правой части СЛАУ b). Поскольку невязка Аx-b является векторной величиной, то, исходя из практических соображений, минимизации надо подвергать ее норму (т. е. скаляр) |Аx-b|. Этот подход позволит, с одной стороны, получить разумное, с физической точки зрения, решение задачи, а, с другой — использовать полезную информацию, заключенную во всех уравнениях.
Таким образом, при интерпретации переопределенных СЛАУ принято искать не точное решение (которого, как уже отмечалось, при данной постановке задачи просто нет), а псевдорешение — вектор, минимизирующий норму невязки системы уравнений. Таким образом, задача решения линейной системы уравнений заменяется задачей отыскания глобального минимума функции f (x) = |Аx-b|. Повторимся еще раз, что, в полном соответствии с обозначениями, принятыми в Mathcad, х — это неизвестный вектор, а символ модуля (две вертикальные черты) означает операцию вычисления нормы (евклидовой длины вектора). Поскольку эта минимизируемая норма зависит от суммы квадратов компонент неизвестного вектора, то процедура поиска псевдорешения является ни чем иным, как реализацией метода наименьших квадратов (МНК).
График функции двух переменных f(x0,x1) показан в виде трехмерной поверхности на Рисунок 8.1, а несколько его сечений в окрестности минимума — на Рисунок 8.2. Нетрудно сообразить, почему структура функции оказывается именно такой, если вспомнить, что f(x)2
является квадратичной формой относительно неизвестных х0 и x1 Надо отметить, что если бы наша система имела большее число уравнений, то вычислительная задача соответствующим образом усложнилась бы, т. к. минимизацию следовало бы проводить не по двум, а по большему числу переменных.
Обращаясь к практической стороне дела, следует вспомнить, что для решения задач минимизации невязки системы уравнений (см. главу 6) в Mathcad предусмотрены две встроенные функции — Minerr и Minimize. Применение этих альтернативных средств иллюстрируется листингами 8.8 и 8.9 соответственно. В первом случае используется ключевое слово Given для ввода СЛАУ в матричной форме, а во втором — в явном виде определяется функция f(x), подлежащая минимизации. Обе встроенные функции, как вы помните, применяют итерационные численные алгоритмы, и поэтому требуют ввода начальных значений для всех неизвестных, т. е. нулевой итерации (вторая строка обоих листингов).
